Wino Notebook

n = 12
samples = 10000000

oeis.langford.find_pairings(n, 0, samples, 10)

index	permutation	sequences
184906	(1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 7, 4, 6)	1 2 1 3 2 8 9 3 10 11 12 5 7 4 8 6 9 5 4 10 7 11 6 12
184989	(1, 2, 3, 8, 9, 10, 12, 6, 11, 5, 7, 4)	1 2 1 3 2 8 9 3 10 12 6 11 5 7 8 4 9 6 5 10 4 7 12 11
184990	(1, 2, 3, 8, 9, 10, 12, 6, 11, 7, 4, 5)	1 2 1 3 2 8 9 3 10 12 6 11 7 4 8 5 9 6 4 10 7 5 12 11
185011	(1, 2, 3, 8, 9, 10, 12, 7, 11, 4, 6, 5)	1 2 1 3 2 8 9 3 10 12 7 11 4 6 8 5 9 4 7 10 6 5 12 11
185518	(1, 2, 3, 8, 9, 11, 7, 12, 10, 6, 4, 5)	1 2 1 3 2 8 9 3 11 7 12 10 6 4 8 5 9 7 4 6 11 5 10 12
185704	(1, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 6, 7, 10, 4, 5)	1 2 1 3 2 8 9 3 11 12 6 7 10 4 8 5 9 6 4 7 11 5 12 10
185744	(1, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 10, 5, 6, 4, 7)	1 2 1 3 2 8 9 3 11 12 10 5 6 4 8 7 9 5 4 6 11 10 12 7
185748	(1, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 10, 6, 4, 5, 7)	1 2 1 3 2 8 9 3 11 12 10 6 4 5 8 7 9 4 6 5 11 10 12 7
186233	(1, 2, 3, 8, 9, 12, 7, 11, 6, 10, 5, 4)	1 2 1 3 2 8 9 3 12 7 11 6 10 5 8 4 9 7 6 5 4 12 11 10
186330	(1, 2, 3, 8, 9, 12, 10, 7, 11, 4, 5, 6)	1 2 1 3 2 8 9 3 12 10 7 11 4 5 8 6 9 4 7 5 10 12 6 11

oeis.langford.pairing_ratio(n, 2, samples)

0.5036107589880159

oeis.langford.pairing_ratio(n, 5, samples)

0.7970957976031957

oeis.langford.pairing_ratio(n, 10, samples)

0.9002762077230358

oeis.langford.pairing_ratio(n, 20, samples)

0.9546900878828228

oeis.langford.pairing_ratio(n, 50, samples)

0.977080170439414

oeis.langford.pairing_ratio(n, 100, samples)

0.9891566412782955

oeis.langford.pairing_ratio(n, 200, samples)

0.9937985416777629

oeis.langford.pairing_ratio(n, 500, samples)

0.997978909613848

oeis.langford.pairing_ratio(n, 1000, samples)

0.9991092655126497

---
model: gpt
---

区间长度变量为$d$，输出的配对比率为$r(n, d)$，猜测$r(n, d)$与$d$之间的关系

根据你给的数据， $r (n, d)$ 随 $d$ 增大单调上升，并且非常接近

$r (n, d) \approx 1 - \frac{c_{n}}{d}$

对 $n = 12$ 来看， $c_{n}$ 似乎很接近 $1$ ，所以一个更具体的猜测是：

$r (12, d) \approx 1 - \frac{1}{d}$

或者写成渐近形式：

$r (n, d) = 1 - Θ (\frac{1}{d})$

更直观地说：

$d$ 越大，配对比率越高；
当 $d \to \infty$ 时， $r (n, d) \to 1$ ；
误差大约按 $1 / d$ 级别衰减。

你给出的数据也很支持这一点：

$d = 10$ : $r \approx 0.9003$ ，接近 $1 - \frac{1}{10} = 0.9$
$d = 100$ : $r \approx 0.9892$ ，接近 $0.99$
$d = 1000$ : $r \approx 0.9991$ ，接近 $0.999$

所以最简洁的猜测就是：

$parsing error: unknown primitive command found
╭─► context:
│
│ \boxed{r(n,d)\appr
│ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^
╰─────────────────── r (n, d) \approx 1 - \frac{1}{d} （对固定 n = 12 的经验拟合）$

如果你愿意，我也可以帮你把这组数据拟合成更精确的经验公式，比如加上二阶项：

$r (n, d) \approx 1 - \frac{a}{d} - \frac{b}{d^{2}}$

并估计 $a, b$ 的值。